piçler size bi zeka sorusu gelin amk

adamı böyle gibertirler

1 − 2 + 3 − 4 + · · ·
Vikipedi, özgür angiblopedi
Git ve: kullan, ara
Bu bir seçkin maddedir. Daha fazla bilgi için buraya tıklayın.
1 − 2 + 3 − 4 + … serisi kısmi toplamlarının ilk birkaç bin adedi.

Matematikte 1 - 2 + 3 - 4 + ... , terimlerinin işaretleri sırasıyla değişen ardışık pozitif tam sayıların oluşturduğu sonsuz bir seridir. Serinin ilk m teriminin toplamı, Sigma toplama gösterimi kullanılarak şöyle ifade edilebilir:

Summation from n equals 1 to m of the series n * (-1)^(n-1)

Bu sonsuz seri ıraksaktır çünkü kısmi toplamlarının dizisi (1, -1, 2, -2, ... ) herhangi bir limit değere yakınsamaz. Ancak, 18. yüzyılın ortalarında Leonhard Euler, bir paradoks olduğunu kabul ettiği şu eşitliği yazmıştır:

1-2+3-4+... =1/4

Buna yönelik titiz bir açıklama çok sonraları yapılabilmiştir. 1890'dan itibaren Ernesto Cesàro, Émile Borel ve diğerleri, Euler'in girişimlerine yeni yorumlar da getirecek şekilde, ıraksak serilere genellenmiş toplamlar atamak için iyi tanımlanmış yöntemler araştırdılar. Bu toplanabilirlik yöntemlerinin birçoğu, 1 - 2 + 3 - 4 + ... serisinin 1⁄4'e eşit olduğunu kolayca göstermektedir. Cesàro toplaması ise bu seriye bir değer atamayan az sayıdaki yöntemden biridir. Dolayısıyla bu seri, Abel toplaması gibi daha kuvvetli bir yöntemin kullanılması gereken serilere örnektir.

1 - 2 + 3 - 4 + ... serisi ile Grandi serisi (1 - 1 + 1 - 1 + …) yakından ilintilidir ve Euler tarafından, herhangi bir n için 1 - 2n + 3n - 4n + ... serisinin özel durumları olarak değerlendirilmişlerdir. Bu yaklaşım, Euler'in Basel problemi üzerindeki çalışmasını genişleten ve oradan da bugün Dirichlet eta fonksiyonu ile Riemann zeta fonksiyonu olarak bilinen fonksiyonel eşitliklere yönlendiren bir araştırma alanıdır.
Konu başlıkları
[gizle]

* 1 Iraksaklık
* 2 Toplama için buluşsal yöntemler
o 2.1 Kararlılık ve doğrusallık
o 2.2 Cauchy çarpımı
* 3 Özel yöntemler
o 3.1 Cesàro ve Hölder
o 3.2 Abel toplamı
o 3.3 Euler ve Borel
o 3.4 Ölçeklerin ayrılması
* 4 Genellemeler
* 5 Ayrıca bakınız
* 6 Kaynakça

Iraksaklık [değiştir]

Serinin terimleri (1, −2, 3, −4, …) hem + hem de − yönde 0'dan uzaklaştığı için, 1 − 2 + 3 − 4 + ... serisi terim testi bağlamında ıraksaktır. ileriki bahisler açısından, ıraksamayı temel bir yaklaşımla değerlendirmek de faydalı olur. Tanım olarak, sonsuz bir serinin yakınsama veya ıraksama niteliğini, o serinin kısmi toplamlar dizisinin yakınsaması veya ıraksaması belirler. 1 − 2 + 3 − 4 + ... 'in kısmi toplamları ise şöyledir:[1]

1 = 1,
1 − 2 = −1,
1 − 2 + 3 = 2,
1 − 2 + 3 − 4 = −2,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,
...

Bu kısmi toplam dizisi serinin herhangi bir sayıya yakınsamadığını açıkça göstermektedir çünkü önerilecek herhangi bir x limiti için, belli bir noktadan sonra kısmi toplamların hepsinin [x-1, x+1] aralığının dışında olduğunu bulabiliriz. Dolayısıyla, 1 − 2 + 3 − 4 + ... ıraksaktır.

Bu kısmi toplam dizisinin her bir tam sayıyı bir kez içermesi de dikkate değerdir çünkü mathbb{Z} tam sayılar kümesinin sayılabilirliğini gösterir.[2]
Toplama için buluşsal yöntemler [değiştir]
Kararlılık ve doğrusallık [değiştir]

1, −2, 3, −4, 5, −6, … terimleri basit bir düzen izlediği için, kaydırma ve terim terim toplama yöntemini kullanarak, 1 − 2 + 3 − 4 + … serisi sayısal bir değer verecek şekilde düzenlenebilir. Herhangi bir s sayısı için s = 1 − 2 + 3 − 4 + … eşitliği yazılabiliyorsa, aşağıdaki düzenlemeler s = 1⁄4 eşitliğini göstermektedir:[3]

4s = (1-2+3-4+5-6+... )+(1-2+3-4+5-6+... )+(1-2+3-4+5-6+... )+(1-2+3-4+5-6+... )

= (1-2+3-4+5-6+... )+1+(-2+3-4+5-6+... )+1+(-2+3-4+5-6+... )+1-2+(3-4+5-6+... )

= (1-2+3-4+5-6+... )+1+(-2+3-4+5-6+... )+1+(-2+3-4+5-6+... )-1+(3-4+5-6+... )

= (1+1-1)+(1-2-2+3)+(-2+3+3-4)+(3-4-4+5)+(-4+5+5-6)+...

= (1)+(0)+(0)+(0)+(0)+...

= 1

ve

s = 1⁄4

Yalnızca kaydırma ve terim terim toplama yöntemi kullanılarak 1 − 2 + 3 − 4 + … serisinin dört kopyası toplandığında, 1 elde edilir. Şeklin her iki yanında, 1 − 2 + 3 − 4 + …'in iki kopyasının 1 − 1 + 1 − 1 + ….'e eklenmesi gösterilmiştir.

Bu çıkarım, sağdaki şekilde grafik olarak anlatılmaktadır.

1 − 2 + 3 − 4 + …'in alışılmış anlamda bir toplamı olmasa da eğer bir toplam tanımlanacaksa, s = 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1⁄4 eşitliği bunun en doğal yanıtı olarak desteklenebilir. Iraksak bir serinin "toplamı"nı gösteren genellenmiş bir tanım, toplama yöntemi ya da toplanabilirlik yöntemi olarak adlandırılır. Bu yöntem, tüm olası ıraksak serilerin bazı alt kümelerini toplar. Kimileri aşağıda anlatılmış olmak üzere, sıradan toplama ile paylaştıkları özelliklerine göre betimlenen pek çok değişik yöntem vardır. Yukarıda gösterilmiş düzenlemelerin bilfiil kanıtladığı ise şudur: doğrusal ve kararlı olan herhangi bir toplama yöntemi ile 1 − 2 + 3 − 4 + … serisi toplandığında, elde ettiği sonuç 1⁄4 olur.

Ayrıca bu yöntem, Grandi serisi topldıbını da 1 − 1 + 1 − 1 + … = 1⁄2 olarak hesaplamalıdır:

2s = (1-2+3-4+5-6+... )+(1-2+3-4+5-6+... )

= 1+(-2+3-4+5-6+... )+1-2+(3-4+5-6+... )

= (1+1-2)+(-2+3)+(3-4)+(-4+5)+(5-6)+...

= (0)+(1)+(-1)+(1)+(-1)+...

= 1-1+1-1+...

ve

2s = 2 x 1⁄4 = 1⁄2 'den

1-1+1-1+... = 1⁄2