lisedeki kavga sözlerini giriyoruz

Ψ(x,t) parçacığı tanımlayan dalga fonksiyonumuz olsun,
langle x rangle =int Psi^*(x,t)xPsi(x,t)dx
integrali bize x'in beklenen değerini verir. Yukarıda bahsedilen soru sorma işlemi tam olarak böyle yapılır. Benzer şekilde momentumun beklenen değeri için;
langle p rangle =int Psi^*(x,t)frac{hbar}{i}frac{d}{dx}Psi(x,t)dx
şeklinde soruyu sorarız. Ψ * (x,t) dalga fonksiyonumuzun karmaşık eşleniğidir. Karmaşık eşlenik ve dalga fonksiyonu arasında kalan ifadeler gözlemlenebilirlerimizin, yani konum ve momentumun, konum uzayındaki operatörleridir. Operatörler sorunun ta kendisidir.

Konum ve momentum dışında daha birçok gözlemlenebilir ile işlem yapılabilir. Ancak konum ve momentum operatörleri kullanılarak diğer birçok operatörü elde etmek mümkündür. işin ilginç yanı bu operatörle elde etmek için klagib formüller kullanılır. Örneğin kinetik enerji klagib mekanikte;
T=frac{p^2}{2m}
şeklinde tanımlanırken kuantum fiziğinde kinetik enerji operatörü yine aynı ifadeyle yazılır. Tek fark "p" artık bir sayı değil bir operatördür. Bu bize Ehrenfest teorimince sağlanır ve bütün operatörleri klagib yasaları kullanarak türetebiliriz. Bu noktada "Peki, dalga fonksiyonu nedir?" sorusuna dönmeliyiz. Dalga fonksiyonu bize Schrödinger denklemi tarafından verilen, bir bakıma parçacığın kimlik kartıdır.Bir boyutta Schrödinger denklemi;
ihbar frac{d}{dt}Psi=-frac{hbar^2}{2m}frac{d^2}{dx^2}Psi+V(x,t)Psi
şeklinde yazılabilir. ifade bir bakıma enerji denklemidir ve bahsi geçen "kimlik" kartını sistemin enerjisine göre verir. (Burada kimlikten kasıt, parçacığın elektron mu yoksa nötron mu olduğu değil, momentumu, konumu, kinetik enerjisi gibi gözlemlenebilirleridir.) Bu "masum" denklem çözüldüğünde parçacığımızın dalga fonksiyonunu elde etmiş oluruz. En basit atom olan hidrojen atomunun zamandan bağımsız analitik olarak çözülmesi bile gerçekten büyük bir meseledir, neyse ki belli formalizmlerle, daha karmaşik sistemleri yaklaşımlar yaparak çözmek mümkün oluyor.

Kuantum mekaniği temelinde bir olasılık teorisidir. Dalga fonksiyonu içinde sistemin bütün olası durumlarını barındırır. Siz soruyu sorduğunuzda size en olası cevabı verir, ancak soru sorma işlemi dalga fonksiyonunu "dağıtır" ve siz bir daha sorduğunuz zaman artık başka bir cevap alırsınız. Bunun yanı sıra kuantum mekaniği yapısı ötürü belirsizlikler barındırır. Bu belirsizlikler bazı gözlemlenebiliri ne kadar iyi bilirseniz diğer bazıları hakkında o kadar az şey bileceğinizi söyler. Örneğin konum ve momentum böyle bir çift oluşturur. Birini ne kadar iyi bilirseniz diğeri hakkında o kadar az bilginiz olur. Bu Heisenberg belirsizlik ilkesi olarak bilinir. Konum ve momentum için Heisenberg belirsizlik ilkesi şöyle gösterilir;
sigma_xsigma_pgeqslant frac{hbar}{2}
Bu ifade de σx ve σp ile verilenler sırasıylayla konum ve momentumdaki belirsizliklerdir.

Yukarıda ele alınan kuantum mekaniği, öklidyen bir uzayda çalışılmış kuantum mekaniğidir, diğer bir deyişle göreceli değildir. Einstein'ın özel görelilik kurdıbına uyan bir kuantum mekaniği türetmek mümkündür. Hatta ilk bakışta kolay bir uğraştır. Kuantum fikrine ve özel göreliliğe biraz aşina olan biri bile çözüme kolayca ulaşır. Yukarıda değinilen Schrödinger denklemini daha sade bir formda şöyle ele alabiliriz;
ihbar frac{partial}{partial t} Psi = HPsi
Burada H olarak verilen Hamiltonian operatörüdür. (Korkmayın, toplam enerji olarak düşünebilirsiniz.) Relativistik olmayan serbest parçacık (potansiyel enerji sıfır) için Hamiltonian;
H=frac{p^2}{2m}
olarak verilir. Relativisitk serbest parçacık içinse Hamiltonian;
H=sqrt{m^2c^4+p^2c^2}
şeklinde yazılabilir. ifade pek yabancı değil, değil mi? Hayır, olaya klagib mekanik açısından bakarsanız, parçacığın durduğunu kabul edersek, momentum sıfır olacak ve ünlü E = mc2 'yi elde etmiş olacaksınız. Şimdi relativistik Hamiltonianla Schrödinger denklemini yeniden yazalım;
sqrt{(-ihbarmathbf{nabla})^2 c^2 + m^2 c^4} psi= i hbar frac{partial}{partial t}psi.
Karesini alırsak

mathbf{nabla}^2psi-frac{1}{c^2}frac{partial^2}{partial t^2}psi = frac{m^2c^2}{hbar^2}psi

elde ederiz. Bu denklem Klein-Gordon denklemi olarak bilinir. Ancak denklem bir takım teknik nedenden ötürü sorunludur. Daha geçerli relativistik çözüm Dirac tarafından keşfedilmiştir ve kendi adıyla anılan denklemle verilir. Ultramikroskobik boyutlarda (Planck Uzunluğu)uzayın küçük dalga boylarında bir kaos olduğu düşünülür. Evrenin milyarda birinin milyarda birinin milyonda biri boyutlarda gözleyecek olursunuz Evren bir kaos olarak görünür.

Kuantum mekaniği tarihi gelişimi boyunca birçok sınavdan alnının akıyla çıkmayı başarmıştır. Olguları büyük bir doğrulukla açıklaması, yeni olgulara ışık tutması bir teoriden beklenen özelliklerdir ve kuantum mekaniği bu işi gerçekten oldukça iyi başarmıştır. Kuantum fikirleri üzerine gelişen kuantum elektrodinamiği (QED) ve kuantum renk dinamiği (QCD) bu güne kadarki hiçbir teorinin ulaşamdığı hassasiyetlerde sonuçlar vermişlerdir. Ne varki geçtiğimiz yüzyılın çok büyük iki teorik açılımı bir biriyle uyuşmamaktadır. Doğada bilinen 4 kuvvetten 3'ü, elektromanyetizma, zayıf ve güçlü kuvvetler, kuantum kuramlarıyla ele alınabilirken kütle çekimin henüz tutarlı bir kuantum kuramı bulunamamıştır. Her ne kadar sicim kuramları kuantum kütle çekime aday gibi görünsede çözülmesi gereken çok büyük sorunlar halen daha bulunmaktadır. Günümüzde yaygın kanı kuantum ve kütle çekimin üstünde, doğrusal olmayan daha genel bir kuramın yer aldığıdır.