lan sonsuz bölü sonsuz nasıl 1 olmaz amk

Gerek konusma vermeye gittiğim okullarda, gerek bana gelen okur mektuplarında, ögrenci ve ögretmenlerin matematikteki sonsuzluk kavrdıbını pek iyi bilmediklerini gözlemledim. Örnegin, birçok kisi,

•Sonsuz eksi sonsuz,
•Sonsuz bölü sonsuz

gibi islemlerin yapılabilecegi sanıyor. Kimisi de “sonsuz eksi 1”in bir sayı oldugunu sanıyor, yani sonsuzdan hemen önce bir sayı oldugunu sanıyor.

Bu yazıda, matematikte kullanılan sonsuzluk kavrdıbına biraz açıklık getirmek istiyorum. “Sonsuz” dendiginde, genellikle, çok uzakta, taa ötede, ulasılamayacak bir yer düsünülür. Genel olarak, “sonsuz” sözcügü bir yer adıymıs gibi kullanılır. Bursa gibi, Balıkesir gibi, Fransa ya da Amerika gibi... Bursa’yla Sonsuz arasındaki tek ayrım, Sonsuz’a hiç ulasılamamasıdır. Kimi zaman da, “sonsuz” dendiginde çok büyük bir miktar akla gelir, sayılamayacak kerte büyük bir miktar... Bu ikinci anlam, “sonsuz”un matematiksel anldıbına daha yakındır. Günlük yasamda kullanılan anlamda bir “sonsuz”un gerçekte (dogada, evrende, uzayda... ) olup olmadıgı ayrı bir tartısma konusudur. Belki de bu anlamda “sonsuz”, imgelemin bir ürünüdür ve dogada yoktur. Ama bizim konumuz, sonsuzun varlıgı ya da yoklugu değil, tanımı.

Biraz daha açayım: “Sonsuz”un ne demek oldugunu tanımlamak baskadır, “sonsuz”un var oldugunu ya da olmadıgını kanıtlamak baska. Yani, kavramın tanımıyla varlıgı bambaska sorulardır.

Ben, bu yazıda daha çok “sonsuz”un matematiksel tanımıyla ilgileneceğim. Konumuz felsefe değil. Yazının sonunda, matematikte sonsuzun varlıgı konusuna söyle bir degineceğim. Yukarda, “sonsuz” sözcügüne günlük yasamda verdiğimiz anlamdan kısaca sözettim. Matematikte “sonsuz”un bambaska bir anlamı vardır. Günlük yasamda kullanılan “sonsuz”un tam ne demek oldugunu pek iyi bilmiyorsak da, matematikte “sonsuz” sözcügünün kesin bir anlamı vardır.
Popüler matematik yazılarımın birçogunda, günlük yasamda kullanılan “sonsuz” kavrdıbının bu belirsizliginden yararlanıp çatıskılar (paradokslar) sundum okura. Bu çatıskılar bugün artık bir çatıskı değilse de, pek yakın bir zamana dek çatıskıydılar. Çünkü matematigin “sonsuzluk” kavramı bir yüzyıl öncesine degin pek açık seçik bilinmiyordu. “Sonsuz” konusunda büyük bir kargasa vardı. Kerli felli adamlar “sonsuz” kavramı üzerinde birbirleriyle anlasamıyorlar, bu ayrılıktan dolayı birbirlerine küsüyorlardı. Kümeler kurdıbının gelismesiyle birlikte (Georg Cantor sayesinde), matematikte “sonsuz”un ne anlama gelmesi gerektigi anlasıldı. Matematikteki “sonsuz” kavrdıbına açıklık getirilmesinin püf noktası sudur: “Sonlu”nun ne demek oldugunu anlarsak, “sonsuz”un da ne demek oldugunu anlarız, çünkü “sonsuz”,
“sonlu”nun karsıtıdır, sonlu olmayana sonsuz deriz(1).
Matematikte “sonsuz” bir nitemdir (sıfattır), bir ad değildir. Nasıl “sonlu” bir nitemse (sıfatsa), matematikte kullanılan “sonsuz” da bir nitemdir. Sonsuz, sonlunun karsıtıdır.

Matematikte sonlu olmayana sonsuz denir.

Adına “sonsuz” denilen matematiksel bir nesne yoktur. Ama sonsuz matematiksel nesneler vardır. Nasıl “sarı”, “yesil”, “uzun”, “soğuk” birer nitemse, matematikteki “sonsuz” sözcügü de bir nitemdir.

Matematikte, adı “sonlu” olan bir nesne olmadıgı gibi, “sonsuz” diye de bir nesne yoktur. Yineliyorum: Matematikte, “sonlu” ve “sonsuz” sözcükleri birer nitemdirler. Örnegin, “sonlu sayı” terimindeki “sonlu” sözcügü “sayı” sözcügünü niteler. Bunun gibi, “sonsuz sayı” terimindeki “sonsuz” sözcügü “sayı”yı niteler. (Matematik bölümünde okumamıs bir okurun sonsuz sayı kavrdıbını, hatta sonlu sayı kavrdıbını da, bildigini sanmıyorum.)

Matematikte 5 bir nesnedir. 1 de bir nesnedir. Dolayısıyla 5’ten 1’i çıkarabiliriz ve 4 nesnesini buluruz. Ama “sonsuz”, bir nesne olmadıgından, matematikte ∞–1 diye bir nesne yoktur ve ∞–1’in yazılmaması gerekir. Bir nitemden bir nesne çıkaramayız.

Bu kavram karısıklıgının suçlusu ögrenciler değil, elbette... Ögrenci hiçbir zaman suçlu olamaz. Lise ögrencilerine, bugünkü egitim sistemimizde, “sonsuz”un tam matematiksel anlamı anlatılamaz. Bugünkü egitim sistemimizde, din bilgisi gibi, savunma bilgisi gibi, trafik bilgisi gibi, ticaret gibi çok daha yararlı (!) ve sıg dersler okutulmaktadır. Ögrenciler haftada 4 saat matematik görürlerse ne âlâ! Egitim sistemimizin oldugu kadar biz matematikçilerin de suçu var bu kavram karısıklıgında. Matematikçiler, “sonsuz”u çogu kez bir ad gibi kullanırlar. Örnegin, sanki sonsuz bir yer adıymış gibi, “n sonsuza gittiginde” derler. Hatta görmüssünüzdür, Lim n->∞ yazarlar. Bu tümcecikte, “sonsuz” sanki bir yer adıymış gibi kullanılmıs. Yanlış! Matematikte “sonsuz” diye bir yer yoktur.

Asıl suçlu ∞ simgesi. Ortaöğretimde, matematiksel simgeler genellikle nesneler için kullanılır. Boşküme bir nesnedir ve simgesi ∅‘dir örneğin. Oysa ∞ simgesi, bir nesnenin simgesi değildir.

Bu yüzden “n sonsuza gittiginde” dememek gerekir. Onun yerine, “n durmadan büyüdügunde, yani her tamsayıyı bir süre sonra aştığında” demek daha doğru olur.
Matematikçiler,

Sonsuz eksi sonsuz, ∞ – ∞
Sonsuz bölü sonsuz, ∞ / ∞

demez ve yazmazlar. Yazdıklarında da bunun ne demek olduğunu açıklamak zorundadır. Ama kimi zaman, matematikçi,

∞ + 1 = ∞
∞ – 1 = ∞
∞ + ∞ = ∞
∞ / 2 = ∞
2 × ∞ = ∞

yazabilir. Burada, matematikçinin söylemek istediği,

• Sonsuz artı 1, sonsuza eşittir
• Sonsuz eksi 1, sonsuza eşittir
• Sonsuz artı sonsuz, sonsuza eşittir
• Sonsuz bölü 2, sonsuza eşittir
• iki kere sonsuz, sonsuza eşittir değildir.

Matematikçi sırasıyla sunları söylemek istiyordur:
• Durmadan büyüyen bir değiskenden 1 çıkarırsak, elde ettiğimiz değisken de durmadan büyür,
• Durmadan büyüyen bir değiskene 1 eklersek, elde ettiğimiz değisken de durmadan büyür,
• iki değisken durmadan büyüyorsa, o değiskenlerin toplamı da durmadan büyür,
• Durmadan büyüyen bir değiskeni ikiye bölersek, gene durmadan büyüyen bir değisken elde ederiz,
• Durmadan büyüyen bir değiskeni ikiyle çarparsak, gene durmadan büyüyen bir değisken elde ederiz.

Ta eski Yunanlılardan beri, matematikçiler ve filozoflar “sonsuz” ve “sonsuzluk” üzerine kafa yormuslardır. Geçen yüzyılda, matematigin sonsuzluk kavrdıbını Alman matematikçi Georg Cantor biçimsellestirdi. Cantor’a göre sonsuz bir sıfattır. O gün bu gün, matematikçiler “sonsuz”u ad olarak değil, sıfat olarak kullanırlar.
Matematikte sonsuz bir nesnenin(2) varlıgı konusuna gelince(3)...

Matematikte sonsuz bir nesnenin varlıgı (böyle bir nesnenin varlıgını kabul eden bir belit/aksiyom olmadan) kanıtlanamaz. Öte yandan matematikçiler “sonsuz” nesnelerden sözedebilmek isterler. Matematikçi sonlu nesnelerle baktıgında, kimi zaman sonsuzu görür gibi olur, yani “sonsuz,” sonlunun arasından kendini gösterir, kendini belli eder. Dolayısıyla matematikçi sonsuz nesnelerin varlıgını kanıtlayamasa da, sonsuz nesnelerden sözedebilmek ister. Bir örnek vereyim.

0, 1, 2, 3, 4 gibi doğal sayılar sonlu matematiksel nesnelerdir (yani kümelerdir.) Peki, ya bu doğal sayılardan olusan nesne? Yani {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... } nesnesi? Bu nesnenin sonsuz oldugunu (yani sonsuz tane öge içerdigini) biliyoruz. Biliyoruz ama, matematikte böyle bir nesne var mıdır? Yani bu nesne, matematikte sözünü edebilecegimiz bir küme midir(4)?

Bu nesnenin bir küme oldugu “sonlu matematikte(5)” kanıtlanamaz. Madem varlıgını kanıtlayamıyoruz ama öyle bir nesnenin bir küme olmasını istiyoruz, bizde matematikte böyle bir kümenin oldugunu varsayarız, yani bu nesneyi küme yapacak bir beliti (aksiyomu) matematiğe sok arız... Böylece, matematikte sonsuz bir küme belirir... Daha önce yoktu, bir belitle var ettik!