daha önce amarika görmüş kaç kişiyiz

Düzlemde bir P noktası veriliyor. x,y,z pozitif reel sayılar olmak üzere; AP=x, BP=y, CP=z şartını sağlayan ABC üçgenleri arasında en büyük çevreye sahip olanının iç merkezi P'dir.

iSPAT:
Bahsi geçen üçgenler arasında en büyük çevreli olan ABC olsun. Çevresi de p olsun. B ve C odaklı A dan geçen bir elips çizelim.
Bilindiği üzere, elips üzerindeki noktaların odaklara olan uzaklıkları toplamı sabit. Bu durumda söz konusu elips üzerindeki her nokta için bu noktanın B ve C ile oluşturduğu üçgenin çevresi, BC sabit, AB+AC de sabit olduğu için p dir. Buna göre elipsin içersindeki noktaların B ve C ile oluşturduğu üçgenlerin çevresi p den küçük, elipsin dışındaki noktaların B ve C ile oluşturduğu üçgenlerin çevresi de p den büyüktür.
Şimdi de P merkezli A dan geçen çemberi çizelim. Bu çemberin üzerinde, elipsin dışında bir A' noktası ile elipsin içinde bir A'' noktası alalım.
AP=A'P=A''P olduğu için △A'BC, △A''BC üçgenleri de tıpkı △ABC üçgeni gibi sorudaki şartları sağlayan üçgenlerdendir. △ABC yi farklı kılan, tüm bu üçgenler arasında en büyük çevreye sahip olması, yani çevresinin p olması. Elipsin tanımı gereği, A' noktası elipsin dışında olduğu için △A'BC nin çevresi p den büyük olacağı için △A'BC üçgeni en büyük çevreli üçgenden daha büyük çevreye sahiptir. Demek ki, P merkezli A dan geçen çemberin elips dışında kalan bir noktası olmamalı. Bu da ancak, P merkezli A dan geçen çember ile elipsin birbirlerine teğet olması ile mümkündir.
Yani B ve C odaklı A dan geçen elipste AP, A dan geçen teğete diktir (AP, elipsin A nokasındaki normalidir.).
Elipste, bir noktadaki teğet ile o nokta ile odaklardan geçen doğrular arasında kalan açılar eşittir (Çemberdeki teğet-kiriş açıya benziyor).
Bu durumda AP, teğete dik olduğu için ∠PAB = ∠PAC olacaktır. Yani AP, △ABC bir iç açıortayıdır.
B ve C noktaları için yukarıdaki işlemleri uyguladığımızda, AP nin açıortay olduğunu bulduk. Diğer nokta çiftleri için de benzer işlemleri yaptığımız da BP nin de, CP nin de birer açıortay olduğunu bulacağız. Bu durumda P noktası, △ABC nin içmerkezidir.

NOT: Üniversiteye giriş sınavlarına hazırlık kitaplarında ABC üçgenin içerisinde alınan P noktası için u < AP+BP+CP < 2u şeklinde bir eşitsizlik veriliyor. Bu eşitsizlik doğru. O konuda sorun yok. Sorun, AP=3, BP=5, CP=7 gibi değerler verildiğinde △ABC nin çevresinin alabileceği tam sayı değerleri soran sorularda. u < 3 + 5 + 7 < 2u ⇒15 < 2u < 30 şeklinde çözüm yaptıktan sonra 2u ∈ {16,17,... ,29} şeklinde bir çıkarımla soruyu hazırlamış oluyorlar.
AP=3, BP=5, CP=7 için çevreyi hesaplamaya çalıştığımızda, oluşan denklemleri Wolfram'a çözdürdüğümüzde 26<p=2u<27 elde ediyoruz. Yani ⌊2u⌋ ∉ {27,28,29}.

AP=x, BP=y, CP=z verildiğinde; Max(Çevre(ABC))'yi hesaplamak o kadar da kolay değil. Örneğin, yukarıdaki örnekte, 3,5,7 için çözümü wolframa yaptırmak zorunda kaldım.
Yine de bazı değerler için, çözümü makul işlemlerle hesaplayabiliriz.
Örnek: AP=15, BP=CP=7 ise Max(Ç(ABC))=? (Cevap: 256/5)