45-45-90 Üçgeni
45-45-90 üçgeni bir ikizkenar dik üçgendir. Üçgenin dik kenarları birbirine eşit ve hipotenüsü dik kenarların sqrt{2} katıdır. Oran aşağıdaki gibidir:
1:1:sqrt{2}.,
ispatı ise çok basittir. Bir dik kenara 1 cm denilirse, ikizkenarlıktan dolayı diğer dik kenar da 1 cm olmak zorundadır. Pisagor Teoremi'nden de hipotenüs sqrt{2} çıkar. Ya da dik kenarın birini 1,5 'la çarp. Hipotenüs bulunur. Bunun sebebi açılar hipotenüsün açılarının daha açıldığı için 1,5'la çarparız.Örnek:Dik kenar 2 cm ise hiptenüs 3 cm olmak zorundadır. Açılar hipotenüsü dik kenardan yarısı kadar fazlalaştırır.
... 30-60-90 Üçgeni...
30-60-90 üçgeni ve ispatı
Açıları 30-60-90 olan bir dik üçgende hipotenüs, 30°'nin karşısındaki kenar ve 60°'nin karşısındaki kenar arasında sırasıyla aşağıdaki oran vardır:
2:1:sqrt{3}.,
30°'nin karşısındaki kenarın sqrt{3} katıdır. ispatı ise eşkenar üçgen vasıtasıyla yapılır. Kenarları 2 cm olan bir eşkenar üçgende köşeden indirilen dikme kenarı iki eş parçaya bölecektir. Aynı zamanda da açıortay olacaktır. Kenarortay olduğu için oluşan dik üçgenin alt dik kenarı 1 cm olacaktır. Açıortay olduğu için de dik üçgenin bir açısı 30° olacaktır. Eşkenar üçgenin bir kenarı, oluşan dik üçgenin hipotenüsü olacağından yapılacak Pisagor bağıntısı ile de indirilen dikme sqrt{3} cm bulunacaktır.
7.24.25
Bu üçgende ise 22,5°'lik açının karşısındaki dik kenar 1 cm ise, 67,5°'lik kenarın karşısındaki kenar 1+sqrt{2} cm olur. ispatı ise 67,5°'lik açıyı 45° ve 22,5° şeklinde parçalayarak yapılır. Bu şekilde altta oluşan ikizkenar dik üçgende alt dik kenar 1 cm olursa hipotenüs sqrt{2} cm olur. Yukarıda oluşacak ikizkenar üçgende de parçalanan kenarın diğer üst tarafı hipotenüse eşit olur. Alt parçası da ikizkenar dik üçgenden dolayı 1 cm bulunacağından 1+sqrt{2} elde edilir. Ve yine kaynaklarda pek bahsedilmeyen ama soruların çözümünde kolaylık sağlayan bir özellik: 22,5-67,5-90 üçgeninde hipotenüs, dik köşeden hipotenüse indirilen dikmenin 2 sqrt{2} katı olur.
15-75-90 Üçgeni
Bu üçgende 15°'lik açının karşısındaki kenar 1 cm ise 75°'lik kenarın karşısındaki kenar 2+sqrt{3} cm olur. ispatı ise 22,5-67,5-90 üçgenindeki gibidir. Tek farkı, 75°'lik açının 15° ve 60°'lik açılara bölünmesidir.
Ayrıca bu üçgende hipotenüse indirilen dikme,
hipotenüsün frac{1}{4} katıdır.
Kenarlara göre özel dik üçgenler genelde okullarda soru yazılırken işlem kolaylığı sağlamak amacıyla kullanılır. Bazı özel üçgenler şunlardır:
3:4:5,
6:8:10,
5:12:13,
8:15:17,
7:24:25,
20:21:29,
