matematik dehaları bakın hele

1.x+y+z=1
2.x²+y²+z²=2
3.x³+y³+z³=3 adlandıralım

x^4+y^4+z^4=?

1. nin karesinin alırsak

(x+y+z)^2=1^2 = x^2+y^2+z^2+2.(xy+zx+yz)=1 (x^2+y^2+z^2 değeri berlli 2)

2.(xy+zx+yz)=-1 = (xy+zx+yz=-1/2)

1.2 yi çarpalım

(x+y+z).(x²+y²+z²)=2

çarparsak = x³+y³+z³+xy^2+xz^2+yx^2+yz^2+zx^2+zy^2=2 (x³+y³+z³ değeri 3)

xy^2+xz^2+yx^2+yz^2+zx^2+zy^2=-1 olur

dikkat edersseniz 2.derece katsayılar elde etmek için 1.4 çarpmak gerekir çarparsak

1.4 (x+y+z).(xy+zx+yz)=-1/2

çarparsak x^2y+zx^2+xy^2+xzy+zxy+y^2z+zxy+z^2x+z^2y=-1/2

1.4 den 1.2 den taraf tarafa çıkartırsak

x^2y+zx^2+xy^2+xzy+zxy+y^2z+zxy+z^2x+z^2y=-1/2

xy^2+xz^2+yx^2+yz^2+zx^2+zy^2=-1 ((-1) ile çarpıp üst ifade ile topla)

3.(x.y.z)=1/2 (x.y.z.=1/6) olur

simdi 1.3 yaparsak maksat x^4+y^4+z^4 ü elde etmek

(x+y+z).(x^3+y^3+z^4)=3

=x^4+y^4+z^4+xy^3+xz^3+yx^3+yz^3+zx^3+zy^3=3

dikkat ederseniz 3.derece katsayı elde etmek için 2.4 ifalerini çarpma gerek

(x^2+y^2+z^2).(xz+yz+yx)=-1

=yx^3+zx^3+yzx^2+xy^3+z^2xy+z^3.x+yz^3=-1

bu ifadeyi -1 ile çarpıp 2. ile toplarsak yoruldum

1. x^4+y^4+z^4+xy^3+xz^3+yx^3+yz^3+zx^3+zy^3=3 ile toplarsak

2. yx^3+zx^3+yzx^2+xy^3+z^2xy+z^3.x+yz^3=-1

=x^4+y^4+z^4-z.y.x^2-zxy^2-x.y.z^2=4 olur

zaten x.y.z=1/6 idi ortak paranteze alalım

x^4+y^4+z^4-x.y.z(x+y+z)=4 x.y.z=1/6 , x+y+z=1 zaten

x^4+y^4+z^4-1/6.(1)=4

x^4+y^4+z^4=1/6+4=25/6

x^4+y^4+z^4=25/6