matematiğin temelleri üzerine

Evet, bazı çılgınca şeylerden bahsedeceğim. Genel kanı fikirlerin bazen çok güçlü olduğudur. Bir kavram, felsefî bir kavram olarak bilgisayar hakkında bir kuramdan bahsedeceğim.

Hepimiz biliyoruz ki bilgisayar gerçek dünyada çok kullanışlı bir nesnedir! Maaşlarımızı öder, öyle değil mi? Fakat insanların çoğu zaman hatırlamadığı şey, —abartmış olacağım, lakin söyleyeceğim— bilgisayarın gerçekte matematiğin temelleri ile ilgili felsefî bir sorunu aydınlatmak için icat edilmiş olduğudur.

Şimdi, bu fikir saçma gibi görünüyor, ancak bunun doğru tarafları var. Aslında, bilgisayara, bilgisayar teknolojisine yol açan bir çok fikir silsilesi vardır. Bu fikirler, matematiksel mantık ile matematiğin sınırları ve gücü hakkındaki felsefi sorunlardan türemiştir.

Bu tür sorunlardan ilham alan, oyuncak bir bilgisayarın matematiksel bir modeli olan Turing makinesini icad etmiş olan bilgisayar öncüsü Turing’dir. Turing bu makineyi Hilbert’in matematik felsefesi ile ilgili bir sorusunu çözmeye çalışırken icat etmiştir. Turing, bunu herhangi gerçek bir bilgisayar henüz icat edilmeden önce yaptı ve sonra da sahiden bilgisayar yapmaya koyuldu. ingiltere’deki ilk bilgisayarlar Turing tarafından yapıldı.

Buna ilaveten, Birleşik Devletlerde bir teknoloji olarak bilgisayarların icadını, (maalesef savaş çalışmalarının ve atom bombası inşa etme çalışmalarının bir parçası olarak) üretilmesini teşvik etmede faydalı olan von Neumann, Turing’in çalışmalarını çok iyi biliyordu. Ben Turing’i, Turing’in çalışmalarının öneminden bahseden von Neumann’ı okuyarak öğrendim.

Demek ki benim bilgisayarların kökeni hakkında söylediklerim tümüyle bir uydurma değildir. Lâkin bu mevzu entelektüel tarihin unutulmuş bir parçasıdır. Bu konuşmanın bitiş yargısı ile başlayayım: Bunların çoğu bir bakıma Hilbert’in çalışmalarından türemiştir. Bu yüzyılın başlarında çok iyi bilinen bir Alman matematikçi olan Hilbert, matematiğin tümünü, bütün matematiksel akıl yürütmeleri—sonuç çıkarmaları— biçimselleştirmeyi önerdi. Ve Hilbert’in bu önerisi çok büyük, görkemli bir fiyaskodur!

Bir bakıma, bu büyük bir başarısızlıktır. Çünkü, matematiksel akıl yürütmenin biçimselleştirilemeyeceği açığa çıkmıştır. Bu, benim bugün üzerinde konuşacağım, 1931’de Gödel tarafından yapılan çalışmanın meşhur bir sonucudur.

Fakat bir başka yönden, Hilbert gerçekten haklıydı, çünkü biçimcilik (formalizm) bu yüzyılın en büyük başarısı olmuştur. Akıl yürütme veya mantıksal çıkarım için değil de, programlama ve hesaplamada biçimcilik son derece başarılı olmuştur. Eğer bu yüzyılın başındaki mantıkçıların çalışmalarına bakarsanız, onlar akıl yürütme, mantıksal çıkarım ile matematik yapma ve sembolik mantık için biçimsel diller üzerine konuşuyorlardı, bununla beraber onlar aynı zamanda programlama dillerinin ilk versiyonlarından bazılarını da icat etmişlerdi. Dahası bu programa dilleri, bizim her zaman birlikte yaşadığımız ve beraber çalıştığımız biçimciliklerdir! Bunlar çok önemli teknolojilerdir.

Böylece, akıl yürütmek için biçimcilik işlemedi. Matematikçiler biçimsel diller içinde akıl yürütmezler. Fakat hesaplama, programlama dilleri için biçimcilik, kökü bu yüzyılın başında Hilbert’e dayanan, matematik ile ilgili epistemolojik, felsefi soruları açıklamaya çalışan biçimci görüş içinde bir bakıma doğrudur.

Şimdi size şaşırtıcı bir sonucu olan bu öyküyü anlatıp, entelektüel tarihin bu şaşırtıcı parçasından bahsedeceğim.