!11

F(11) = 14684570

F(n+1) = n*F(n) + n*F(n-1)

F(1) = 0
F(2) = 1

F(N+1) = N*F(N) + N*F(N-1)

ikinci kısımda kafası karışıp ikna olmayanlar için şerh. Şunu unutmayın ki F(N) N kişi olduğunda N-şapka problemi için doğru cevabı verecektir. 1 2 3 vs sadece gösterim istersin. 4 2 5 olsun isimler N=3 için. F(N+1) i bulmak için ikinci kısımda önce N kişiden birini seçiyoruz sonra kalan N-1 kişi için çözümü uyguluyoruz. N kişiden kimi seçersek seçelim kalan n-1 kişi için çözüm sayısı aynı olacak.

Gelelim sonucu bulmak için aritmetiğe

F(N+1) = N*F(N) + N*F(N-1)
F(N+1) = N*[ F(N)+F(N-1) ] ya da değişken değişikliyle diğer bir deyişle

F(N) = (N-1)*[ F(N-1) * F(N-2) ]

F(1) = 0
F(2) = 1
F(3) = 2 = 2*(1+0)
F(4) = 9 = 3*(2+1)
F(5) = 44 = 4*(9+2)
F(6) = 265 = 5*(44+9)
F(7) = 1854
F(8) = 14833
F(9) = 133496
F(10)= 1334961
F(11)= 14684570

bu özyinelemeli fonksiyon açık formül haline getirmeye çalıştığımızda ilginç sonuçlara erişiyoruz.
Dikkat n!(faktoriyel) değil !n(altfaktoriyel).
Bunlar arasında ilişki de n!=e*!n yaklaşık olarak.
Cevap kısaca !n=[n!/e] sayısına en yakın tam sayı oluyor.
Yani kısaca cevap için 11'in alt faktoriyeli desek yeterliydi.