beyler bu başlıkta seviyeyi yükseltiyoz

− 2 + 3 − 4 + … ifadesinin (C, 1) Cesàro topldıbını bulmak için (eğer varsa), öncelikle dizinin kısmi toplamlarının aritmetik ortalamalarının hesaplanması gerekmektedir.

Kısmi toplamlar

1, −1, 2, −2, 3, −3, …

olarak gösterilebilir. Bu kısmi toplamların aritmetik ortalamaları ise aşağıdaki gibidir.

1, 0, 2⁄3, 0, 3⁄5, 0, 4⁄7, …

Bu dizi yakınsak değildir; bu nedenle 1 − 2 + 3 − 4 + …, Cesàro toplamı yöntemiyle hesaplanamaz.

Cesàro toplamasının iki genellemesi vardır: bunların kavramsal bakımdan daha basit olanı n doğal sayıları için kullanılan (H, n) yöntemler dizisidir. (H, 1), Cesàro toplamasını ifade etmektedir ve daha üst düzey yöntemler, aritmetik ortalama hesaplamalarının yinelenmesidir. Yukarıda elde edilen aritmetik ortalamalar dizisinin çift sıra numaralı olanları 1⁄2'ye yakınsarken tek sıra numaralı olanların tümü sıfırdır. Böylece, ortalamaların ortalaması, 0 ve 1⁄2'nin ortalaması olan 1⁄4'e eşittir.[6] Sonuç olarak, 1 − 2 + 3 − 4 + … toplamı (H, 2) yöntemiyle 1⁄4 olarak toplanabilir.

"H", Otto Hölder'e karşılık gelmektedir; Holder, 1882'de, matematikçilerin bugün Abel toplamı ve (H, n) toplamı arasındaki bağlantı olarak düşündükleri ilişkiyi kanıtlamıştır. 1 − 2 + 3 − 4 + … dizisi Hölder tarafından bu ilişkinşin ilk örneği olarak sunulmuştur.[7] 1 − 2 + 3 − 4 + … ifadesinin (H, 2) topldıbının 1⁄4'e eşit oluşu bu toplamın bir Abel toplamı olduğunu da garantilemektedir; bu ilişki aşağıda ıspatlanacaktır.

Cesàro toplamasının diğer genellemesi ise (C, n) yöntemler dizisidir. (C, n) ve (H, n) toplamalarının aynı sonucu verdiği kanıtlanmıştır ancak bu iki yöntem farklı tarihi köklere sahiptir. Cesàro 1887 yılında (C, n) toplamasının tanımlamasını yapmaya çok yaklaşmış, ancak sınırlı sayıda örnekler vermiştir. Cesàro'nun yaptığı, bugün (C, n) olarak adlandırılabilecek ancak zamanında bu şekilde gerekçelendirilmemiş bi yöntemle 1 − 2 + 3 − 4 + … topldıbını 1⁄4 olarak hesaplamak olmuştur. Cesàro 1890 yılında usule uygun şekilde (C, n) yöntemlerini tanımlamış, (C, n)-toplanabilir bir dizi ile (C, m)-toplanabilir bir dizinin Cauchy çarpımının (C, m + n + 1)-toplanabilir olduğunu ortaya koyan teoremini bu tanıma dayandırmıştır.[8]